백준 11066 [파일 합치기]

문제

소설가인 김대전은 소설을 여러 장(chapter)으로 나누어 쓰는데, 각 장은 각각 다른 파일에 저장하곤 한다. 소설의 모든 장을 쓰고 나서는 각 장이 쓰여진 파일을 합쳐서 최종적으로 소설의 완성본이 들어있는 한 개의 파일을 만든다. 이 과정에서 두 개의 파일을 합쳐서 하나의 임시파일을 만들고, 이 임시파일이나 원래의 파일을 계속 두 개씩 합쳐서 소설의 여러 장들이 연속이 되도록 파일을 합쳐나가고, 최종적으로는 하나의 파일로 합친다. 두 개의 파일을 합칠 때 필요한 비용(시간 등)이 두 파일 크기의 합이라고 가정할 때, 최종적인 한 개의 파일을 완성하는데 필요한 비용의 총 합을 계산하시오.

예를 들어, C1, C2, C3, C4가 연속적인 네 개의 장을 수록하고 있는 파일이고, 파일 크기가 각각 40, 30, 30, 50 이라고 하자. 이 파일들을 합치는 과정에서, 먼저 C2와 C3를 합쳐서 임시파일 X1을 만든다. 이때 비용 60이 필요하다. 그 다음으로 C1과 X1을 합쳐 임시파일 X2를 만들면 비용 100이 필요하다. 최종적으로 X2와 C4를 합쳐 최종파일을 만들면 비용 150이 필요하다. 따라서, 최종의 한 파일을 만드는데 필요한 비용의 합은 60+100+150=310 이다. 다른 방법으로 파일을 합치면 비용을 줄일 수 있다. 먼저 C1과 C2를 합쳐 임시파일 Y1을 만들고, C3와 C4를 합쳐 임시파일 Y2를 만들고, 최종적으로 Y1과 Y2를 합쳐 최종파일을 만들 수 있다. 이때 필요한 총 비용은 70+80+150=300 이다.

소설의 각 장들이 수록되어 있는 파일의 크기가 주어졌을 때, 이 파일들을 하나의 파일로 합칠 때 필요한 최소비용을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

입력

프로그램은 표준 입력에서 입력 데이터를 받는다. 프로그램의 입력은 T개의 테스트 데이터로 이루어져 있는데, T는 입력의 맨 첫 줄에 주어진다.각 테스트 데이터는 두 개의 행으로 주어지는데, 첫 행에는 소설을 구성하는 장의 수를 나타내는 양의 정수 K (3 ≤ K ≤ 500)가 주어진다. 두 번째 행에는 1장부터 K장까지 수록한 파일의 크기를 나타내는 양의 정수 K개가 주어진다. 파일의 크기는 10,000을 초과하지 않는다.

출력

프로그램은 표준 출력에 출력한다. 각 테스트 데이터마다 정확히 한 행에 출력하는데, 모든 장을 합치는데 필요한 최소비용을 출력한다.

 

https://www.acmicpc.net/problem/11066

11066번: 파일 합치기

 

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 이번 문제를 풀면서 더 많은 DP문제를 풀어봐야겠다는 생각이 들었다. 나름 DP를 좀 푼다고 생각했는데 이번 문제가 DP로 푸는 문제인 것을 알고 봐도 대략적인 풀이법조차 떠오르지 않았다. 이번 기회에 글을 작성하며 다시한번 DP에 대한 복습을 해보자.

 

 이번 문제를 간략하게 표현해보면  부분을 하나로 합치는 비용의 최솟값을 구하는 문제이다. 그래서 i번째 페이지 부터 j번째 페이지를 합치는 최소비용을 dp[i][j]로 표현하는 배열 dp를 만들 것이다. 그리고 작은 문제를 해결하는 것으로 시작하여 이를 통해 큰 문제를 해결하는 DP의 방법을 활용할 것이다. 

 

 우선 주어진 인자 K개를 배열 file에 담는다. 이때 배열 sum에 부분합을 저장하면서 저장한다.

 

  ex) 주어진 인자가 40 30 30 50 20이면 배열은 다음과 같이 작성된다.

index	0	1	2	3	4	5
file[]	0	40	30	30	50	20
sum[]	0	40	70	100	150	170

 

그리고 배열 dp를 생성하여 다음 3단계에 걸쳐 dp배열을 채운다.

 

    1. dp[i][j]에서 i == j 인 경우

    2. dp[i][j]에서 i + 1 == j 인 경우

    3. dp[i][j]에서 1, 2번을 제외한 경우

 

 1. dp[i][j]에서 i == j 인 경우

이 경우는 dp[i][j] = 0으로 놔둘 것이기 때문에 그대로 유지하면 된다. dp[i][j]는 i번째에서 j번째 파일을 합쳤을때 드는 최소비용인데 아무것도 합치지 않았으므로 0원이기 때문이다.

    dp[i][j] = 0

 

 2. dp[i][j]에서 i + 1 == j 인 경우 

이 경우는 i 번째 파일에서 j 번째 파일까지 합쳤을 때의 최소비용을 적는 것인데 i 부터 j 까지의 파일이 2개이므로 dp[i][j]는 단순하게 생각해서 다음과 같다.

    dp[i][j] = file[i] + file[j]  

  

 3. dp[i][j]에서 1, 2번을 제외한 경우

이 경우는 이제  DP의 핵심 내용이 들어간다. dp[i][j]는 i번째 파일 ~ j번째 파일까지 합쳤을 때의 최소비용이므로 경우의 수를 다 따져봐야 하는데 이때 우리는 좀 더 효율적으로 비교하기 위해 지금까지 dp배열에 기록해놨던 내용들을 활용하여 문제를 풀 것이다.

 

 dp[i][j]는 결국 2개의 파일을 합친 것이므로 모든 경우의 수를 판단할 수 있는 dp[i][p] + dp[p + 1][j]의 최솟값으로 이전까지 사용한 비용의 최솟값을 구할 수 있다. (p의 범위는 i <= p < j이다. 즉 i ~ p번째까지를 합한 파일과 p + 1 ~ j번째까지를 합한 파일을 ) 

 이때 이전까지 사용한 비용의 최솟값을 구하는 이유는 새로 만들때 드는 비용은 i번째에서 j번째까지의 파일의 누적합이므로 어떠한 경우에도 같은 값이 나오기 때문에 더 적은 비용으로 만들 수 있는 dp[i][j]를 찾아야하기 때문이다.

 따라서 우리는 dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][p] + dp[p + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1])로 dp[i][j]를 구할 수 있고 Math.min을 이용해 dp[i][j]를 결정할 것이기 때문에 dp[i][j]의 초기값을 Int 최댓값인 2147483647로 세팅하고 for문을 돌리면 된다.

 코드를 보고 이해해보자.

 

import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int T = Integer.parseInt(br.readLine());
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        while(T-- > 0){
            int n = Integer.parseInt(br.readLine());
            int[] file = new int[n + 1];
            int[] sum = new int[n + 1];
            int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
            StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                file[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
                sum[i] = sum[i - 1] + file[i];
            }
            for (int i = 1; i < n; i++)
                dp[i][i + 1] = file[i] + file[i + 1];
            for (int k = 2; k < n; k++){
                for (int i = 1; i <= n - k; i++){
                    int j = i + k;
                    dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                    for (int p = i; p < j; p++)
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][p] + dp[p + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
                }
            }
            sb.append(dp[1][n]).append("\n");
        }
        System.out.print(sb);
    }
}